Aprendizaje Geométrico Profundo: Aproximaciones de Turing e Intratabilidad de Translación de Núcleos Convolucionales en Variedades Riemannianas Genéricas

Resumen:

El aprendizaje geométrico es una rama del aprendizaje estadístico que utiliza técnicas geométricas. Por ejemplo, las arquitecturas de redes neuronales profundas son así aplicadas al estudio de objetos geométricos (no necesariamente Euclidianos) como gráficas o variedades lisas. Las redes neuronales convolucionales son una de las arquitecturas más exitosas en el aprendizaje automático (machine learning). Definirlas requiere de varios elementos disponibles, por ejemplo, en el plano Euclidiano. 

Observaremos que el crecimiento de geodésicas entre dos puntos cualesquiera en una variedad Riemanniana genérica [1] impone limitaciones computacionales a la tarea de trasladar núcleos convolucionales. 

Un resultado de Alan Turing de 1938 [2] nos indica que tenemos que usar toros y grupos abelianos para aproximar variedades por espacios métricos finitos. 

Veremos cómo se relacionan estos dos temas.

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